洛谷P4587 [FJOI2016]神秘数（主席树）

题面

洛谷

题解

考虑暴力，对于询问中的一段区间$[l,r]$，我们先将其中的数升序排序，假设当前可以表示出$[1,k]$目前处理$a_i$，假如$a_i>k+1$，则答案就是$k+1$，否则，调整右界到$k+a_i$。

考虑如何优化，还是扫到了$[1,k]$，假设$ans=k+1$，如果所有小于等于$ans$的数的和$sum$起来大于等于$ans$，则一定可以将$k$更新成$sum$。否则直接输出就好了。

以上这个过程很明显可以用主席树维护，统计一个区间内小于等于某个数的数的和。

接着来证明一下这个东西的复杂度。什么时候对于这种算法，复杂度最劣呢？就是，对于一个区间$[l,r]$，排完序后有：

$$a_i=\sum_{j=l}^{i-1}a_j(l\leq i\leq r)$$

比如：$1,1,2,4,8,16,…,2^k$，所以说，这个算法的复杂度是$log_2(\sum a_i)$，而$\sum a_i\leq10^9$，所以所以是对的

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using std::min; using std::max;
using std::swap; using std::sort;
using std::unique; using std::lower_bound;
typedef long long ll;

template<typename T>
void read(T &x) {
    int flag = 1; x = 0; char ch = getchar();
    while(ch < '0' || ch > '9') { if(ch == '-') flag = -flag; ch = getchar(); }
    while(ch >= '0' && ch <= '9') x = x * 10 + ch - '0', ch = getchar(); x *= flag;
}

const int N = 1e5 + 10, Inf = 1e9 + 7;
int n, q, a[N], rt[N], poi;
int val[N << 5], lson[N << 5], rson[N << 5];
ll sum[N << 5];

int insert(int o, int l, int r, int k) {
    int o_ = ++poi;
    lson[o_] = lson[o], rson[o_] = rson[o], sum[o_] = sum[o] + k;
    if (l == r) return o_;
    int mid = (l + r) >> 1;
    if (k <= mid) lson[o_] = insert(lson[o_], l, mid, k);
    else rson[o_] = insert(rson[o_], mid + 1, r, k);
    return o_;
}

ll query (int x, int y, int l, int r, int k) {
    if(l == r) return sum[y] - sum[x];
    int mid = (l + r) >> 1; 
    if(k <= mid) return query(lson[x], lson[y], l, mid, k);
    else return sum[lson[y]] - sum[lson[x]] +
             query(rson[x], rson[y], mid + 1, r, k);
}

int main () {
    read(n);
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
        read(a[i]), rt[i] = insert(rt[i - 1], 1, Inf, a[i]);
    read(q); int x, y;
    while(q--) {
        read(x), read(y);
        ll MX = 1, ans = 0;
        ans = query(rt[x - 1], rt[y], 1, Inf, int(MX));
        while(ans >= MX && MX != Inf) {
            MX = min(1ll * Inf, ans + 1);
            ans = query(rt[x - 1], rt[y], 1, Inf, int(MX));
        } printf("%lld\n", ans + 1);
    }
    return 0;
}