Bzoj2510 弱题（矩阵快速幂）

题面（权限题）

题解

一道概率$dp$，可以设$f[i][j]$表示第$i$次操作后，标号为$j$的小球的期望个数，那么有：

$$\begin{aligned} &f[i][j]=(1-\frac 1m)f[i-1][j]+\frac1mf[i-1][j-1](1\leq j\leq n) \\ &f[i][0]=(1-\frac 1m)f[i-1][j]+\frac1mf[i-1][n] \end{aligned}$$

这样的话转移可以写成矩阵的形式（假设有$4$个小球）：

$$\begin{aligned} &\begin{bmatrix} f[i-1][1]&f[i-1][2]&f[i-1][3]&f[i-1][4] \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 1-\frac 1m&\frac 1m&0&0\\ 0&1-\frac 1m&\frac 1m&0\\ 0&0&1-\frac 1m&\frac 1m\\ \frac 1m&0&0&1-\frac 1m \end{bmatrix} \\= &\begin{bmatrix} f[i][1]&f[i][2]&f[i][3]&f[i][4] \end{bmatrix} \end{aligned}$$

可以发现转移矩阵也是一个循环矩阵，也就是说，可以$O(n^2log_2k)$做。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using std::min; using std::max;
using std::swap; using std::sort;
typedef long long ll;

template<typename T>
void read(T &x) {
    int flag = 1; x = 0; char ch = getchar();
    while(ch < '0' || ch > '9') { if(ch == '-') flag = -flag; ch = getchar(); }
    while(ch >= '0' && ch <= '9') x = x * 10 + ch - '0', ch = getchar(); x *= flag;
}

const int N = 1e3 + 10;
int n, m, k; double S[N], T[N], tmp[N];

void mul(double S[], double T[]) {
    memset(tmp, 0, sizeof tmp);
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
        for(int j = 1; j <= n; ++j)
            tmp[(i + j - 2) % n + 1] += S[i] * T[j];
    memcpy(S, tmp, sizeof tmp);
}

int main () {
    read(n), read(m), read(k);
    for(int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%lf", S + i);
    T[1] = 1 - 1.0 / m, T[2]= 1.0 / m;
    for(; k; k >>= 1, mul(T, T)) if(k & 1) mul(S, T);
    for(int i = 1; i <= n; ++i) printf("%.3lf\n", S[i]);
    return 0;
}